弧の長さ $l$ と半径 $r$ が判明している場合、中心角 $a$ を求める最短経路は「円周全体の長さを分母、弧の長さを分子」に置く分数処理です。
完全な円の円周は $2\pi r$ です。扇形の弧はそのうちのどれだけの割合を占めているか。その割合に360度を掛ければ、即座に中心角が算出されます。
$$a = 360 \times \frac{l}{2\pi r} = 360 \times \frac{l}{\text{円周}}$$
具体例で検証してみましょう。「半径9cm、弧の長さ $5\pi\text{ cm}$ の扇形」の中心角を求めます。
まず、半径9cmの完全な円の円周を暗算します。$2 \times \pi \times 9 = 18\pi\text{ cm}$ です。次に、全体の円周に対する弧の長さの比率を分数で表します。$\frac{5\pi}{18\pi}$ となり、ここで円周率 $\pi$ は一瞬で相殺されて $\frac{5}{18}$ が残ります。あとは、この割合を360度に掛けるだけです。
$$a = 360 \times \frac{5}{18} = 20 \times 5 = 100^\circ$$
方程式を立てて分母を払う手順を踏む場合と比べ、所要時間は半分以下に短縮されます。ポイントは、掛け算を最後まで実行せず、分数の約分を最優先で処理することです。360と18は約分によって即座に20となるため、桁数の大きな筆算を行う必要すらありません。
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